El evento a medir es

Empleando argumentos de conteo, se encuentra que , donde es el número de permutaciones de tamaño k en el conjunto Ω.

De esta manera la probabilidad de que haya dos o más, de los k seleccionados aleatoriamente, que cumplan años el mismo día es

La siguiente tabla muestra los valores de la probabilidad P (A^c) para distintos valores de k.

Una de las preguntas de interés en este problema, ver [3] y [5], es determinar el menor número de asistentes tal que la probabilidad de que haya dos o más con el mismo día de cumpleaños sea por lo menos el cincuenta por ciento. En la tabla se ha resaltado esta probabilidad para un tamaño de 23 asistentes.

Problema del cumpleaños bajo distribución de probabilidades general

Sea X una variable aleatoria con valores en el conjunto finito A = {x₁, x₂, ..., x_N}, y con función de probabilidad f. Sea X₁, X₂, ..., X_k, con k < N, variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución de probabilidades común f.

Proposición 1

La probabilidad p de que las k variables aleatorias X₁, X₂, ..., X_k, tomen todos sus valores distintos, dos a dos, está dada por:

donde Z denota los números enteros positivos.

Demostración

La probabilidad p de que estas k variables aleatorias tomen todos sus valores distintos es

Teniendo en cuenta que si I y J son dos permutaciones de (i₁, i₂, ..., i_k), donde i₁, i₂, ..., i_k son elementos de A distintos dos a dos, y en total hay k! permutaciones de éstos, entonces

de tal forma que,

debido a la independencia

y finalmente

Nota: Observe que el número de sumandos presentes en la sumatoria está dado por En particular, la solución al problema del cumpleaños, con n = 365, será:

considerando que se tiene una distribución uniforme sobre C= {1,2,3,...,365}, entonces para todo i_j ∈ C y así

Proposición 2

Sean {x₁, x₂, ..., x_N}un conjunto finito de números reales positivos, y k > 1, un número entero. Entonces

Demostración

Los casos extremos k = 1 y k = N se prueban fácilmente.

El caso k = 1 es directo ya que el lado izquierdo de la desigualdad anterior es x₁ + x₂ + ... + x_N, mientras que el lado derecho es

El caso k = N se sigue de la desigualdad de media geométrica - media aritmética:

y de la identidad =1.

Demostración de los casos k: 1< k < N:

Sin pérdida de generalidad se puede asumir que , pues en caso contrario si , entonces basta definir las nuevas variables y se tendrá que , y

Se define la función g : → R, mediante

El dominio de la función es el conjunto cerrado y acotado {(x₁,x₂,...,x_N)∈ : x₁+x₂+...+x_N= N} y como g es una función continua entonces g alcanza máximo sobre S.

Sea z = (z₁,z₂,...,z_N ) el punto en S donde g alcanza el máximo, el cual resulta único ya que el conjunto S es un simplex.

El máximo de g está en z = (1,1,...,1), en efecto:

Se supone, por el contrario, que existen i y j, i # j, tales que z_i # z_j y se considera el punto y∈S, definido por

decir, tiene las mismas coordenadas del punto z salvo que en las posiciones i-ésima y j-ésima están los promedios de las posiciones i-ésima y j-ésima del punto z.

Entonces

Entonces por la desigualdad de media geométrica-media aritmética, para dos componentes se tiene que:

Esta última desigualdad contradice que z = (z₁,z₂,...,z_N ) sea el punto donde la función g alcanza máximo.

Por tanto z₁ = z₂ =...= z_N , es decir z = (1,1,...,1), ya que

Proposición 3

El supuesto de distribución uniforme discreta de nacimientos para cada día de un año de 365 días subestima la probabilidad de que dos o más personas, de un conjunto de k personas con k < 365, cumplan años el mismo día.

Demostración

Bajo una distribución de probabilidades general, la probabilidad que todas las k personas cumplan años en días distintos es:

Sea , x_i = ƒ (i_r), r=1,2,...,k entonces de la proposición 2 se tiene que

Esta cota corresponde a la probabilidad dada por la distribución uniforme de nacimientos, así, la probabilidad de tener cumpleaños en días distintos es maximizada por la distribución uniforme que es equivalente a que la distribución uniforme subestima la probabilidad de que dos o más personas, de un conjunto de k personas con k < 365, cumplan años el mismo día.

Conclusiones

• La probabilidad de que dos o más personas cumplan años en el mismo día, bajo el supuesto de distribución uniforme discreta, es subestimada.
• En el caso de una distribución arbitraria de nacimientos el número de individuos que garantizan concurrencia en cumpleaños de por lo menos dos individuos, es a lo más 23, ya que la probabilidad está acotada inferiormente por la correspondiente probabilidad en el caso uniforme.
• Queda la pregunta de si el valor mínimo de 23 individuos, en el caso uniforme, requerido para que por lo menos dos individuos cumplan años el mismo día con probabilidad mayor al 50% se puede mejorar en el sentido de que se necesiten menos individuos en el caso general de una distribución arbitraria de nacimientos.

Literatura citada

BOYD, S. & VANDENBERGHE. Convex optimization, reprinted, Cambridge. U.K. 2006; 32-35.

DEGROOT M. Probabilidad y estadística. Adisson Wesley. Washington, 1999.

FELLER, W. An introduction to probability theory and its applications, vol. I, 3^rd edition, Wiley and sons, New York, 1968; 33.

PARZEN, E. Teoría moderna de probabilidad y sus aplicaciones. Limusa, Noriega Editores. México D.F. 1993; 64.

SHIRYAEV, A. N. Probability. Springer GTM 95. 2nd edition. Berlin Heidelberg, 1996; 15.