1. Introducción

En otro lugar (Castro-Manzano, 2019), hemos propuesto una unión de la lógica de términos funtoriales (Sommers, 1982; Sommers & Englebretsen, 2000; Englebretsen, 1996; Englebretsen & Sayward, 2011) con la silogística intermedia (Peterson, 1979; Thompson, 1982). De la unión de estos sistemas resultó la lógica de términos funtoriales intermedia, una lógica con un enfoque algebraico-terminista que extiende la silogística asertórica mediante la adición de cuantificadores intermedios.

Al reconsiderar el resultado anterior notamos una conexión natural con la silogística estadística de Thompson (en adelante, SYLL^stat). Basados en esta conexión, en este trabajo ofrecemos un método terminista à la Sommers para modelar un fragmento de SYLL^stat. El resultado es una primera aproximación a un sistema con las ventajas de un enfoque algebraico-terminista, que extiende la silogística asertórica mediante la adición de cuantificadores estadísticos. Para alcanzar esta meta, procedemos de la siguiente manera: primero presentamos, de manera breve, los sistemas lógicos en cuestión, posteriormente introducimos nuestra contribución principal y, al final, mencionamos algunos posibles usos de este método.

2. Los sistemas SYLL, TFL y SYLL^stat

2.1 ASPECTOS GENERALES DE LA SILOGÍSTICA

La silogística asertórica (en adelante, SYLL) es una lógica de términos que tiene su origen en los tratados de lógica de Aristóteles y que estudia la relación de inferencia entre enunciados categóricos. Un enunciado categórico es un enunciado compuesto por dos términos, una cantidad y una cualidad. El sujeto y el predicado del enunciado se llaman términos: el término-esquema S denota el término sujeto del enunciado y el término-esquema P denota el predicado. La cantidad puede ser universal (Todo) o particular (Algún) y la cualidad puede ser afirmativa (es) o negativa (no es).

Estos enunciados categóricos se abrevian mediante una etiqueta (a, para la universal afirmativa, SaP; e, para la universal negativa, SeP; i, para la particular afirmativa, SiP; y o para la particular negativa, SoP) que nos permite determinar una secuencia de tres enunciados conocida como modo. Un silogismo categórico, entonces, es un modo ordenado de tal manera que dos enunciados categóricos fungen como premisas ordenadas (premisas mayor y menor) y el último como conclusión. Al interior de las premisas existe un término que ocurre en ambas premisas, pero no en la conclusión: este término especial, usualmente denotado con el término-esquema M, funciona como un enlace entre los términos restantes y es conocido como término medio. De acuerdo con la posición del término medio, se pueden definir cuatro arreglos o figuras que codifican los modos o patrones silogísticos válidos (tabla 1)¹.

2.2 ASPECTOS GENERALES DE LA LÓGICA DE TÉRMINOS FUNTORIALES

Sommers y Englebretsen (2000) han desarrollado la lógica de términos funtoriales (Term Functor Logic, en adelante TFL) usando términos en lugar de elementos lingüísticos de primer orden, como variables individuales o cuantificadores. De acuerdo con esta lógica, los cuatro enunciados categóricos de SYLL pueden representarse mediante la siguiente sintaxis:

SaP := −S + P

Sep := −S − P

Sip := +S + P

SoP := +S − P

Dada esta representación, TFL ofrece una regla de inferencia para la silogística: una conclusión se sigue válidamente de un conjunto de premisas si y solo si (i) la suma de las premisas es algebraicamente igual a la conclusión y (ii) el número de conclusiones con cantidad particular (esto es, cero o uno) es igual al número de premisas con cantidad particular (Englebretsen, 1996, p. 167).

Así, por ejemplo, si consideramos un silogismo válido tipo aaa de la primera figura (aaa-1), podemos ver cómo la aplicación de esta regla produce la conclusión correcta (tabla 2). En efecto, (i) si sumamos las premisas obtenemos la expresión algebraica (− G +H) + (−F +G)=− G +H −F+G= −F +H , de tal modo que la suma de las premisas es algebraicamente igual a la conclusión, y la conclusión es igual a −F+H, en lugar de +H −F, porque, por la segunda condición, (ii) el número de conclusiones con cantidad particular (cero, en este ejemplo) es igual al número de premisas con cantidad particular (cero, en este ejemplo)².

2.3 ASPECTOS GENERALES DE LA SILOGÍSTICA ESTADÍSTICA

Peterson (1979) y Thompson (1982) han desarrollado una extensión para la silogística asertórica mediante la adición de tres cuantificadores intermedios: pocos, para los enunciados predominantes, mayoría, para los enunciados mayoritarios, y muchos, para los enunciados comunes. El resultado de esta adición es una silogística intermedia (en adelante, SYLL⁺).

Así pues, SYLL⁺ añade los siguientes enunciados: p es el predominante afirmativo (pocos S no son P), b es el predominante negativo (pocos S son P), t es el mayoritario afirmativo (la mayoría de S son P), d es el mayoritario negativo (la mayoría de S no son P), k es el común afirmativo (muchos S son P), y g es el común negativo (muchos S no son P).

La silogística estadística de Thompson (1986) (SYLL^stat) es una extensión de SYLL⁺ que modela enunciados categóricos con cuantificadores estadísticos (tabla 3).

De acuerdo con Thompson (1986), para especificar estos enunciados es necesario considerar un índice de distribución definido por dos partes:

1. Un límite n ∈ R tal que 0< n < 100, para todos los cuantificadores que reciben interpretación minimal: n es el cuantificador porcentual³.

2. Un modificador que se escribe como un subíndice del límite y que mide la cantidad de vaguedad que un cuantificador tiene en un contexto particular. Este modificador se expresa por medio de dos variables, σ y ι:

   • σ es un nivel de significancia. Dado cierto contexto, σ es el valor tal que mucho más del n % de S es P es verdad cuando el porcentaje actual de S que son P es (n + σ o más. Por la manera en que mucho más del n% es definido, σ es también el valor tal que casi n % de S son P es falso cuando el porcentaje actual de S que son P es (n −σ ) o menos. σ se define, pues, arbitrariamente, pero si funciona con su significado usual, no puede ser menor o igual a 0 ni mayor que 100, y, como el nivel de significancia de las pruebas estadísticas, raramente es mayor que 5 (Craparo, 2007, pp. 889-891; Moore, 2010, pp. 373-376).

   • ι denota una magnitud positiva infinitesimal con dos propiedades:

     • (n + ι) > n

     • si m < n, entonces m < n− (x X ι ) , donde ι es un infinitesimal positivo y m, n, y x son números reales.

Siendo mayor que 0, ι es un valor tal que más de n % de S son P es verdad cuando el porcentaje actual de S que son P es (n +ι )o más. Consecuentemente, ι es también un valor tal que casi n % de S son P es verdad cuando el porcentaje de S que son P es mayor o igual que n− ( σ−ι) = n + (ι−σ).

Con estas suposiciones, las siguientes reglas de distribución asocian un índice de distribución con los términos de un enunciado:

1. Distribución por cualidad

   • En los enunciados afirmativos, el predicado tiene un índice de distribución de 0_ι.

   • En los enunciados negativos, el predicado tiene un índice de distribución de 100₀ .

2. Distribución por cantidad

   • En los enunciados con un cuantificador de la forma n %, el sujeto tiene un índice de distribución de n₀.

   • En los enunciados con un cuantificador de la forma casi n %, el sujeto tiene un índice de distribución de n_(ι−σ).

   • En los enunciados con un cuantificador de la forma Más de n %, el sujeto tiene un índice de distribución de n_ι.

   • En los enunciados con un cuantificador de la forma Mucho más de n%, el sujeto tiene un índice de distribución de n_σ.

   • En los enunciados con un cuantificador de la forma Menos de n% el sujeto tiene un índice de distribución de (100−n) _ι.

Dadas estas consideraciones preliminares, Thompson ofrece las siguientes reglas de validez, donde M1 y Pp son los índices de distribución de los términos de la premisa mayor (el término medio y el término mayor, respectivamente); M2 y Sp son los índices de distribución de la premisa menor (el término medio y el término menor, respectivamente); Sc y Pc son los índices de distribución de los términos de la conclusión (el término menor y el término mayor, respectivamente); y por último, PM es el índice de distribución del predicado de la premisa mayor y Pm es el índice de distribución del predicado de la premisa menor. El máximo valor de distribución que una ocurrencia de un término puede recibir es 100_{0 ,} de tal modo que un término con un índice de distibución de 100₀ está máximamente distribuido.

Así pues, una conclusión se sigue válidamente de un conjunto de premisas en SYLL^stat si y solo si:

1. El término medio está más que máximamente distribuido en las premisas, i.e., M1+M2 > 100₀.

2. El término menor en las premisas está distribuido por lo menos en el mismo grado que el término menor en la conclusión, i.e., Sp> Sc.

3. El término mayor en las premisas está distribuido al menos en el mismo grado que el término mayor en la conclusión, i.e.,Pp>Pc.

4. El número de premisas negativas es igual al número de conclusiones negativas, i.e., PM+Pm = Pc+0 _ι .

Así, por ejemplo, los silogismos en las tablas 4, 5 y 6 son válidos en SYLL^stat.

El silogismo de la tabla 4 es válido porque cumple con todas las reglas. Cumple con la regla 1, porque (M1+ M2) = (100₀+0ι) = (100+0)_ι = 100_ι, y 100_ι >100₀, puesto que(100−100) = 0>−ι=0−ι. También cumple con la regla 2, dado que 37,2₀> 37,2₀ ; y con la regla 3, porque 0_ι>0_ι. Además, vacuamente, cumple con la regla 4.

El ejemplo de la tabla 5 también sigue la regla 1, en la medida en que M1 +M2= 27_{ι −σ} +73_σ= 27+73 _(ι−σ)+σ= 100_ι . Evidentemente, el resto de las reglas también se cumplen.

El ejemplo de la tabla 6 también es válido: M1 tiene un índice de 75 porque el cuantificador menos del n% le asigna al sujeto el valor (100−n)%, que, en este caso, es(100 −25)_ι = 75_ι. Pp tiene el valor 100₀ porque el cuantificador menos del n% recibe una interpretación maximal, de tal modo que la premisa mayor, en este caso, es negativa. Así pues, la regla 1 se cumple, porque 75_ι 25₀ =75_ι > 100₀ y, además, no hay problema con las reglas restantes.

Por último, para contrastar, consideremos un silogismo inválido (tabla 7).

El ejemplo de la tabla 7 es inválido, porque el término medio no está más que máximamente distribuido (5_ι +0_ι <100₀) y el término mayor en las premisas no está distribuido al menos en el mismo grado que el término mayor en la conclusión (Pp<Pc).

3. TFL^stat

Como se puede apreciar hasta este punto, el sistema SYLL^stat ofrece un enfoque aritmético interesante para modelar la silogística estadística; sin embargo, no ofrece un modelo algebraico más general. Dado este estado de cosas, en esta sección proponemos el sistema TFL^stat, una extensión de TFL para unificar las virtudes de SYLL^stat con las de TFL. Para alcanzar esta meta seguimos tres pasos. Primero, proponemos una adaptación de la sintaxis de TFL para incluir los cuantificadores estadísticos de SYLL^stat, posteriormente modificamos la regla de TFL y, por último, mostramos que tal modificación es confiable, en la medida en que los silogismos válidos de TFL^stat son válidos en SYLL^stat.

3.1 ADAPTACIÓN DE LA SINTAXIS

Para representar los enunciados estadísticos de SYLL^stat dentro del marco lógico de TFL, consideremos la propuesta de la tabla 8.

3.2 MODIFICACIÓN DE LA REGLA

Decimos que una conclusión se sigue válidamente en TFL^stat si y solo si (i) la suma de las premisas es algebraicamente igual a la conclusión, (ii) el número de conclusiones con cantidad particular (esto es, cero o uno) es igual al número de premisas con cantidad particular; (iii) la suma de los índices de distribución de los términos medios es mayor que100₀ ; y (iv) los índices de distribución de la conclusión no sobrepasan los índices de distribución de las premisas. Para ilustrar este mecanismo, reconsideremos los ejemplos previos (tablas 9, 10 y 11).

El silogismo de la tabla 9 es válido, porque (i) la suma de las premisas es algebraicamente igual a la conclusión, es decir,−G +H + (+F +G) = +F +H ; la conclusión es de la forma +F +H , porque (ii) el número de conclusiones con cantidad particular (cero, en este ejemplo) es igual al número de premisas con cantidad particular (cero, en este ejemplo); (iii) la suma de los índices de los términos medios es mayor que (i. e. 100₀+ 0_ι = 100_ι,>100₀); y (iv) los índices de distribución de la conclusión no sobrepasan los índices de distribución de las premisas.

El ejemplo de la tabla 10 es válido porque: (i) la suma de las premisas es algebraicamente igual a la conclusión: −F−A+ (+F+R) =+R−A, y la conclusión es de la forma +R −A en lugar de −A +R porque (ii) el número de conclusiones con cantidad particular (una, en este ejemplo) es igual al número de premisas con cantidad particular (una, en este ejemplo); (iii) la suma de los índices de los términos medios es mayor que 1000(i.e. 27_ι−σ+73_σ = 100_ι > 100₀ ); y (iv) los índices de distribución de la conclusión no sobrepasan los índices de distribución de las premisas.

El ejemplo de la tabla 11 es válido también porque: (i) la suma de las premisas es algebraicamente igual a la conclusión, +F −A + (−F +J) = +J − A, y la conclusión es de la forma +J −A en lugar de − A +J, porque (ii) el número de conclusiones con cantidad particular (una, en este ejemplo) es igual al número de premisas con cantidad particular (una, en este ejemplo); (iii) la suma de los índices de los términos medios es mayor que (i.e., 25₀+ 75_ι = 100_ι > 100₀); y (iv) los índices de distribución de la conclusión no sobrepasan los índices de distribución de las premisas.

Para contrastar, consideremos un silogismo inválido (tabla 12).

El ejemplo de la tabla 12 es inválido porque: (i) la suma de las premisas no es algebraicamente igual a la conclusión, +F +A − F −R ≠−R −A ; (ii) el número de conclusiones con cantidad particular (cero, en este ejemplo) no es igual al número de premisas con cantidad particular (dos, en este ejemplo); (iii) la suma de los índices de los términos medios no es mayor que 100₀; y (iv) por lo menos un índice de distribución de la conclusión sobrepasa a un índice de distribución de las premisas (en A).

En este punto, es preciso hacer la siguiente aclaración, puesto que nuestra presentación es diferente de la de Thompson. Thompson (1982; 1986) permite que los enunciados universales entrañen a los particulares, pero como nuestra versión sigue el esquema de Sommers y Englebretsen, tenemos que añadir otra regla al marco lógico de TFL^stat, la regla 5: si las premisas tienen un término sujeto con “−”, la conclusión no puede tener un sujeto con “+”. Esta consideración produce que inferencias como las de la tabla 13 sean condicional o entimemáticamente correctas, como sigue:

3.3 CONFIABILIDAD

Ahora consideremos la confiabilidad de esta propuesta, mostrando que las inferencias válidas de TFL^stat (i.e., TFL^stat⊢) son válidas en SYLL^stat (i.e., SYLL^stat⊢).

Proposición 1. (Confiabilidad). Si un silogismo es TFL^stat ⊢, entonces también es SYLL^stat⊢.

Prueba. Notemos que, cuando los enunciados tienen únicamente índices 100₀ y 0_ι, la prueba es trivial: los silogismos TFL^stat⊢ son SYLL^stat⊢ y viceversa, puesto que TFL^stat y SYLL^stat colapsan con TFL y SYLL. Sin embargo, para el resto de los silogismos, supongamos, por reductio, un silogismo arbitrario 𝖘 que es TFL^stat⊢, pero que no es SYLL^stat⊢. Entonces 𝖘 cumple con las reglas de TFL^stat pero viola alguna de las condiciones de validez de SYLL^stat⊢

Listemos las condiciones que hacen de 𝖘 un silogismo TFL^stat⊢:

• Si la suma de los índices de los términos medios es mayor que100₀, 𝖘 cumple la regla 1.

• Si la suma de las premisas es algebraicamente igual a la conclusión, el número premisas particulares es igual al número de conclusiones particulares, y los índices de distribución de los términos de la conclusión son menores o iguales a los índices de distribución de los términos de las premisas, entonces 𝖘 cumple las reglas 2 y 3.

• Si la conclusión y una premisa de 𝖘 tienen un término−P, 𝖘 cumple con la regla 4.

• Si la conclusión y una premisa de 𝖘 tienen un término +S, 𝖘 cumple con la regla 5.

Tomando las combinaciones adecuadas de las condiciones a a d, podemos construir un conjunto de silogismos arbitrarios válidos para cualesquiera términos S, P, M, donde +P^x = P^0ι,−P^x = −P¹⁰⁰ ₀ ^, +S^y = S y −Sy =−S (según la tabla 14):

Notemos que la combinación I es SYLL^stat⊢: (i) el término medio está más que máximamente distribuido en las premisas; (ii) el término menor en las premisas está distribuido por lo menos en el mismo grado que el término menor en la conclusión; (iii) el término mayor en las premisas está distribuido al menos en el mismo grado que el término mayor en la conclusión; y (iv) el número de premisas negativas es igual al número de conclusiones negativas. El resto de combinaciones también son SYLL^stat⊢.

Así pues, los silogismos arbitrarios definidos en la tabla 14 son SYLL^stat⊢, en la medida en que cumplen con las condiciones i a iv, pero 𝖘 debe ser de la forma de alguno de esos silogismos, dado que fue construido por una aplicación de las condiciones que hacen que 𝖘 sea SYLL^stat⊢. Luego, 𝖘 debe ser SYLL^stat⊢ también, pero esto contradice la suposición de que 𝖘 es TFL^stat⊢ y no es SYLL^stat⊢.

4. Conclusiones

En esta contribución hemos propuesto una representación de la silogística estadística de Thompson usando la lógica de términos de Sommers y Englebretsen. Por supuesto, esta propuesta solo cubre un fragmento de SYLL^stat⊢, que considera niveles de significancia σ< 5 , es decir, el fragmento más simple de la silogística estadística, pero si es correcta, existe la posibilidad de desarrollar otros aspectos formales de esta silogística. Esto nos ayudaría a seguir promoviendo a las lógicas de términos (Veatch, 1970; Sommers, 1982; Englebretsen, 1996; Englebretsen & Sayward, 2011; Correia, 2017; Simons, 2020) como herramientas más interesantes y poderosas de lo que originalmente podríamos creer (contraCarnap, 1930; Geach, 1962; Geach, 1980).

Referencias

Notas

* Agradecemos al comité de arbitraje por sus valiosos comentarios y necesarias correcciones. Esta investigación fue financiada por un proyecto de investigación UPAEP.

¹ Por mor de brevedad, pero sin pérdida de generalidad, omitimos los silogismos que requieren carga existencial.

² Aunque no forma parte de este estudio, es importante mencionar que esta aproximación terminista es capaz de representar y modelar inferencias relacionales y singulares (como en la lógica de primer orden) y compuestas (como en la lógica de enunciados) sin perder su motivación principal, a saber, que una inferencia es un proceso que ocurre entre términos (Englebretsen, 1996, pp. 172 y ss.). Por supuesto, aunque este no es el lugar para exponer las virtudes y defectos de este enfoque, nos parece importante mencionar que parte de su interés nace del contraste con la visión heredada de la lógica (Castro-Manzano & Reyes-Cárdenas, 2018).

³ Como se explica en Thompson, 1982, un cuantificador recibe una interpretación minimal cuando significa al menos cierta cantidad o más; un cuantificador recibe una interpretación maximal cuando significa no más que cierta cantidad o menos. Así, por ejemplo, 25 % de S es P es verdad si el porcentaje de S que son P es exactamente 25 %, 50 % o incluso 100 %.

Notas de autor

** UPAEP Universidad, Puebla, México. Correo electrónico: josemartin.castro@upaep.mx

Información adicional

Para citar este artículo: Castro-Manzano, J. M. (2021). Silogística estadística usando términos. Universitas Philosophica, 38(76), XX-XX. ISSN 0120-5323, ISSN en línea 2346-2426. https://doi.org/10.11144/Javeriana.uph38-76.seut

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